Forum von PlanetMTG | Druckvorschau: Mehrdimensionale Wahrscheinlichkeiten

Geschrieben von Norman am 28.05.2013 um 14:34:

Mehrdimensionale Wahrscheinlichkeiten

Hallo,

wie bilde ich mehrdimensionale Wahrscheinlichkeiten ab?

Beispiel: Gegeben sei ein Deck mit 60 Karten, davon 11 Inseln und 9 blauen Karten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, auf einer Hand von 7 Karten sowohl mindestens eine Insel als auch eine blaue Karte zu haben?

Danke. Gruß.

Geschrieben von blacklands am 28.05.2013 um 14:55:

ka, obs stimmt, aber ich hätte das ganze so gerechnet:
P%= 100* ((11/60)*(9/60)+1/58+1/57+1/56+1/55+1/54) -> ca 11,68%
bin allerdings kein Mathematiker

Geschrieben von Chickenfood am 28.05.2013 um 15:00:

Das Stichwort für solche fragen ist grundsätzlich "hypergeometrische Verteilung" und nicht mehrdimensionale Wahrscheinlichkeit.

Geschrieben von Norman am 28.05.2013 um 15:03:

Zitat:

Original von Chickenfood
Das Stichwort für solche fragen ist grundsätzlich "hypergeometrische Verteilung" und nicht mehrdimensionale Wahrscheinlichkeit.

Danke schonmal. Ich nix Mathe. Colgate

Und 12% würde ich mal für nicht korrekt erachten.

Geschrieben von blacklands am 28.05.2013 um 15:09:

sag ja ich nix mathematiker, aber auf mtgs kannst glaub ich das deck eingeben und per deckcheck prüfen lassen, dort sind afaik statistische auswertevarianten drinnen;)

ist dir das zu hoch oder zu niedrig?
-> 33% deiner karten sind land oder blau.

versuch nummer 2:
100*((11/60)+9/59+1/58 +1/57+1/56)= 38,9%

Geschrieben von Schmirglie am 28.05.2013 um 15:16:

Zitat:

Original von Chickenfood
Das Stichwort für solche fragen ist grundsätzlich "hypergeometrische Verteilung" und nicht mehrdimensionale Wahrscheinlichkeit.

Eine hypergeometrische Verteilung ist dichotom ("es gibt 2 Sorten Kugeln"), ist also so direkt erstmal nicht hilfreich. Ich sehe zwei Ansätze:
- man bräuchte sowas wie eine trichotome hypergeometrische Verteilung (keine Ahnung, ob es sowas gibt, irgendwer hat sich bestimmt schon mal damit beschäftigt), oder
- man muss zwei hypergeometrische Verteilungen kombinieren, dann hat man allerdings mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun und da müsste ich mich ausgiebiger mit beschäftigen. Läuft dann aber ca so:
* Wahrscheinlich mindestens eine blaue Karte in der Handy zu haben ausrechnen
* Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass man unter der Bedingung, dass man schon mindestens eine blaue Karte hat, auch noch eine Insel hat.
Da die Anzahl der blauen Karten aber zwischen 1 und 6 variieren kann, wird das etwas aufwändig. Ich bin auch nicht sicher, ob man hier übers Gegenereignis gehen kann...

Bin mal gespannt was der Simon dazu sagt Wink

Was auch schonmal ein Ansatz sein kann ist über eine Multinomialverteilung zu gehen (wie Binomalvert., nur eben mit "drei Sorten Kugeln"). Das Ergebnis weicht dann etwas vom tatsächlichen Wert ab, sollte aber als grobe Richtlinie brauchbar sein.

Geschrieben von Schmirglie am 28.05.2013 um 15:21:

Ich mach einfach mal nen Doppelpost:
Eine wahrscheinlich umständliche und auch rechenintensive Lösung müsste sein:
Rechne die Wahrscheinlichkeit aus, genau eine Insel in der Hand zu haben. Multipliziere das mit der Wahrscheinlichkeit, dass von den anderen 6 Karten mindestens eine Karte blau ist.
Rechne die Wahrscheinlichkeit aus, genau zwei Inseln in der Hand zu haben. Multipliziere das mit der Wahrscheinlichkeit, dass von den anderen 5 Karten mindestens eine Karte blau ist.
[...]bis:
Rechne die Wahrscheinlichkeit aus, genau sechs Insel in der Hand zu haben. Multipliziere das mit der Wahrscheinlichkeit, dass die letzte Karte blau ist.

Addiere diese sechs Wahrscheinlichkeiten.

Geschrieben von SimonG am 28.05.2013 um 15:25:

Wahrscheinlichkeitsrechnung ist immer ein Vergleich von Mengen. In deinem Beispiel musst du die Menge aller Hände mit denen vergleichen, die die Bedingung erfüllt. Der Quotient ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass so eine Hand auftaucht.

Deine Frage beantwortet man generell mit der "multivariate hypergeometric distribution":

Zitat:

If there are K_i marbles of color i in the urn and you take n marbles at random without replacement, then the number of marbles of each color in the sample (k_1,k_2,...,k_n) has the multivariate hypergeometric distribution.

So wie deine Aufgabe konkret gestellt ist reicht sogar die reguläre hypergeometric distribution. Man benötigt die Werte für 0 Inseln, 0 blaue Karten sowie 0 Inseln und 0 blaue Karten. Das macht den Ausdruck noch einfacher, weil ein Term im Zähler wegfällt (siehe Wikipedia).

P( 0 Inseln ) = (49 über 7)/(60 über 7)
P( 0 blaue ) = (51 über 7)/(60 über 7)
P ( 0 Inseln und 0 blaue ) = (40 über 7)/(60 über 7)

Das sind jeweils die Hände, die die Bedingung erfüllen im Zähler, und alle möglichen Hände im Nenner. Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhält man

P( Inseln >=1 und blaue >=1 ) = 1 - P( 0 Inseln ) - P( 0 blaue ) + P( 0 Inseln und 0 blaue ) = ... = 52.61%

Geschrieben von Chickenfood am 28.05.2013 um 15:25:

Bei MWS gab auch n tool für genau sowas.
Hab das grade mal benutzt und der spruckt 53% aus.

Geschrieben von Schmirglie am 28.05.2013 um 15:31:

Zitat:

Original von SimonG
P( Inseln >=1 und blaue >=1 ) = 1 - P( 0 Inseln ) - P( 0 blaue ) + P( 0 Inseln und 0 blaue ) = ... = 52.61%

Geil Simon, echt geil! Genau auf diesen Mengenvergleich hätte ich eigentlich kommen können, ohne überhaupt an irgendwelche Verteilungen zu denken. Jetzt müsste ich mal nachrechnen, ob ich auf meinem Weg auch da raus komme Ugly

Geschrieben von Norman am 28.05.2013 um 15:32:

Danke Simon, auch wenn ich das noch mindestens 6 mal lesen muss, bis ich es verstanden habe.

Geschrieben von SimonG am 28.05.2013 um 15:33:

Ein cooler Trick ist übrigens, das 60-Kartendeck durch ein unendlich großes zu approximieren. Warum macht es das einfacher? Weil jeder Draw die restlichen Wahrscheinlichkeiten nicht beeinflusst. Rechnet man

P( 0 Inseln ) + P( 0 blaue ) - P( 0 Inseln und 0 blaue )

erhält man

(1-11/60)^7 + (1-9/60)^7 - (1-20/60)^7 = 50,43%

Am Ende ist eh alles 50:50. Entweder man hats oder man hats nicht.

Geschrieben von SimonG am 28.05.2013 um 15:36:

Zitat:

Original von Schmirglie

Zitat:

Original von SimonG
P( Inseln >=1 und blaue >=1 ) = 1 - P( 0 Inseln ) - P( 0 blaue ) + P( 0 Inseln und 0 blaue ) = ... = 52.61%

Dein Weg wird auch funktionieren, aber die Gefahr auf dem Weg etwas falsch zu machen, wird größer. Im Wesentlichen summierst du über alle möglichen Hände, die die Bedingung erfüllen. Der Problematik, dass sich beide Kartentypen gegenseitig beeinflussen begegnest du dann durch diese "Faltung", also der Summierung über die Gesamtkarten. Da ist man aber ne Weile beschäftigt :).

Geschrieben von Nuegun am 28.05.2013 um 15:37:

Zitat:

Original von SimonG
Am Ende ist eh alles 50:50. Entweder man hats oder man hats nicht.

So viel Weisheit in diesem Satz. Das wird meine neue Lebensphilosophie.

Geschrieben von Schmirglie am 28.05.2013 um 15:41:

Zitat:

Original von SimonG

Zitat:

Original von Schmirglie

Zitat:

Original von SimonG
P( Inseln >=1 und blaue >=1 ) = 1 - P( 0 Inseln ) - P( 0 blaue ) + P( 0 Inseln und 0 blaue ) = ... = 52.61%

Ich merks grade. Man muss schon ziemlich aufpassen, wie viele Karten man jetzt noch aus wie vielen zieht. Ich sag ja: Umständlich und rechenaufwändig. Aber wenn man den smarten Weg nicht sieht muss eben sowas her Wink

Geschrieben von ze_german am 28.05.2013 um 18:04:

ich hab ja mal um die Fläche unter einer Geraden auszurechnen die Gradengleichung integriert...

Geschrieben von blacklands am 28.05.2013 um 18:16:

da steig ich etwas aus.
ich dachte hier ist der ansatz das bei jedem kartenziehen, die gesamtzahl um n-1 verändert wird.
die "kugel" wird ja nicht zurückgelegt.
P Insel = 11/60
P blau= 9/59 wegen kartenziehen
hk 3-7 -> egal und sind irgendwelche karten _> 1/58.....1/54

wenn man die wahrscheinichlkeiten dann addiert -> 42,5%
ist der ansatz komplet falsch?

Geschrieben von Tigris am 29.05.2013 um 10:11:

Zitat:

Original von blacklands
da steig ich etwas aus.
ich dachte hier ist der ansatz das bei jedem kartenziehen, die gesamtzahl um n-1 verändert wird.
die "kugel" wird ja nicht zurückgelegt.
P Insel = 11/60
P blau= 9/59 wegen kartenziehen
hk 3-7 -> egal und sind irgendwelche karten _> 1/58.....1/54

wenn man die wahrscheinichlkeiten dann addiert -> 42,5%
ist der ansatz komplet falsch?

Komplett falsch wohl nicht aber du müsstest bei jedem Kartenziehen eine Fallunterscheidung machen. Insel gezogen, blaue Karte gezogen, weder noch gezogen, weil das ja das restliche nachziehen beeinflusst. (Natürlich mit den jeweiligen wkeiten).

Oder verstehe ich das falsch und du machst bereits alle Fallunterscheidungen? (wann du die blaue und wann du die Insel ziehst)?

Sry bin mir gerade nicht mehr so sicher was du meinst.

Geschrieben von blacklands am 29.05.2013 um 11:24:

Ich bin davon ausgegangen dass ich als erste Karte ne Insel und als 2. die blaue ziehe. Bei den restlichen Karten ist's Dann egal was ich ziehe.

Geschrieben von SteB am 29.05.2013 um 12:24:

Zitat:

Original von blacklands
Ich bin davon ausgegangen dass ich als erste Karte ne Insel und als 2. die blaue ziehe. Bei den restlichen Karten ist's Dann egal was ich ziehe.

Ich kanns dir jetzt nicht genau erklären, aber im Prinzip rechnest du hier (soweit ich verstanden habe was du versuchst) eigentlich garnichts aus.
Du nimmst hier eine bestimmte Sortierung an bei der du aber schon weißt das deine Bedingugn erfüllt ist, wodurch sich die Rechnung erübrigt da die Wahrscheinlichketi 1 ist das sie eintritt. Wink

@T: kann man bei der hypergeometrischen verteilung gleichzeitig nach mehreren Eigentschaften in einer Menge suchen?
So wie im folgenden online app nach den lottozahlen + zusatzzahl:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/hypgeovert1.htm
Das Beispiel hab ich glaub ich früher schon mal auc woanders gesehen.
Was ist da der Unterschied zu dieser Fragestellung?
Oder ist es einfach falsch?